Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分別以AB、BC、AC為邊作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，則PQ的長為14+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先證明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可得到RP、進而可求出PQ的長．

解答 解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．
在△ABC和△GFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACB=∠GCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
則QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$，
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$．
故答案為：14+4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度較大，正確運用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．