Question

1．⊙O交坐標(biāo)軸于A、B、C、D四點，P為x軸上一點，PE切⊙O于E，連接ED、EB，PA=4，PE=8
（1）求E點坐標(biāo)；
（2）求∠B正弦值；
（3）求直線PE解析式；
（4）求ED•EF的值；
（5）當(dāng)點P在x軸上運動時，若其他條件不變，是否存在點P，使△PEF∽△EBD？存在求出點P的坐標(biāo)，不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，作EH⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥PE，再利用勾股定理得到8²+r²=（r+4）²，解得r=6，接著利用面積法計算出EH=$\frac{24}{5}$，然后根據(jù)勾股定理計算出OH即可得到E點坐標(biāo)；
（2）在Rt△BHE中，先根據(jù)勾股定理計算出BE，然后根據(jù)正弦的定義求解；
（3）利用待定系數(shù)法求直線PE的解析式；
（4）連結(jié)BD，當(dāng)△PEF∽△EBD，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠EPF=∠BED，根據(jù)圓周角定理得到∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=45°，所以∠EPF=45°，于是可判斷△OEP為等腰直角三角形，所以PE=OE=6，OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$，從而得到P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）連結(jié)OE，作EH⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵PE切⊙O于E，
∴OE⊥PE，
在Rt△OPE中，∵PE²+OE²=OP²，
∴8²+r²=（r+4）²，解得r=6，
∴OE=6，OP=10，
∵$\frac{1}{2}$EH•OP=$\frac{1}{2}$•OE•PE，
∴EH=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OEH中，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴E點坐標(biāo)為（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）；
（2）在Rt△BHE中，∵EH=$\frac{24}{5}$，BH=OB+OH=6+$\frac{18}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB=$\frac{EH}{BE}$=$\frac{\frac{24}{5}}{\frac{24\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b，
把P（-10，0），E（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{-10k+b=0}\\{-\frac{18}{5}k+b=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線PE的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$；
（4）存在．
連結(jié)BD，
∵△PEF∽△EBD，
∴∠EPF=∠BED，
∵∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠EPF=45°，
∴△OEP為等腰直角三角形，
∴PE=OE=6，
∴OP=$\sqrt{2}$OE=6$\sqrt{2}$，
∴P點坐標(biāo)為（-6$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的性質(zhì)定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；合理使用相似三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；能使用勾股定理計算線段的長度．