Question

7．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：
請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；
（2）問題探究：
如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結AC，BD，試探究AC與BD的數量關系，并說明理由；
（3）應用拓展：
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．

Answer 1

分析 （1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；
（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對角相等，利用等角對等角得到兩對角相等，進而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；
（3）分兩種情況考慮：（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，由S_{四邊形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，由S_{四邊形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}，求出四邊形ACBD′面積即可．

解答 解：（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD，理由為：
連接PD，PC，如圖1所示：

∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，
∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，
∴∠APC=∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD；
（3）分兩種情況考慮：
（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，
如圖3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
設EB=ED′=x，
由勾股定理得：4²+（3+x）²=（4+x）²，
解得：x=4.5，
過點D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴$\frac{D′F}{AC}$=$\frac{ED′}{AE}$，即$\frac{D′F}{4}$=$\frac{4.5}{4+4.5}$，
解得：D′F=$\frac{36}{17}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC×EC=$\frac{1}{2}$×4×（3+4.5）=15；S_△BED′=$\frac{1}{2}$BE×D′F=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{36}{17}$=$\frac{81}{17}$，
則S_{四邊形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′=15-$\frac{81}{17}$=10$\frac{4}{17}$；
（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，
如圖3（ii）所示，

∴四邊形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根據勾股定理得：AE=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴S△AED′=$\frac{1}{2}$AE×ED′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×3=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，S_{矩形ECBD′}=CE×CB=（4-$\sqrt{7}$）×3=12-3$\sqrt{7}$，
則S_{四邊形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+12-3$\sqrt{7}$=12-$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 此題屬于幾何變換綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，垂直平分線定理，等腰三角形性質，以及矩形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．