Question

7．學(xué)校計(jì)劃選購(gòu)甲、乙兩種圖書(shū)作為“校園讀書(shū)節(jié)”的獎(jiǎng)品．已知甲圖書(shū)的單價(jià)是乙圖書(shū)單價(jià)的1.5倍；用600元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)甲種圖書(shū)比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)乙種圖書(shū)要少10本．
（1）甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為多少元？
（2）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共40本，其中甲種圖書(shū)a本，投入的經(jīng)費(fèi)為W元，
①請(qǐng)寫(xiě)出W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
②若投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)1050元，且使購(gòu)買(mǎi)的甲種圖書(shū)數(shù)量不少于乙種圖書(shū)的數(shù)量，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？并求出最節(jié)省的購(gòu)買(mǎi)方案和最節(jié)省經(jīng)費(fèi)；
（3）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)總數(shù)超過(guò)30本，其中甲種圖書(shū)a本，乙種圖書(shū)b本，且投入的經(jīng)費(fèi)恰好為690元，則b=24，27（寫(xiě)出兩種可能的值）．

Answer 1

分析 （1）總費(fèi)用除以單價(jià)即為數(shù)量，設(shè)乙種圖書(shū)的單價(jià)為x元，則甲種圖書(shū)的單價(jià)為1.5x元，根據(jù)兩種圖書(shū)數(shù)量之間的關(guān)系列方程；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)a本，則購(gòu)進(jìn)乙種圖書(shū)（40-a）本，①根據(jù)總費(fèi)用等于購(gòu)買(mǎi)的甲種圖書(shū)的費(fèi)用+購(gòu)買(mǎi)的甲種圖書(shū)的費(fèi)用即可求得函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)“投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)1050元，甲種圖書(shū)數(shù)量不少于乙種圖書(shū)的數(shù)量”列出不等式組解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{30a+20b=690①}\\{a+b＞30②}\end{array}\right.$，由①得a=$\frac{69-2b}{3}$=23-$\frac{2}{3}$b，代入②解得b＞21，因?yàn)閍、b都是整數(shù)，即可求得b的取值．

解答 解：（1）設(shè)乙種圖書(shū)的單價(jià)為x元，則甲種圖書(shū)的單價(jià)為1.5x元，由題意得$\frac{600}{x}$-$\frac{600}{1.5x}$=10
解得：x=20
則1.5x=30，
經(jīng)檢驗(yàn)得出：x=20是原方程的根，
答：甲種圖書(shū)的單價(jià)為30元，乙種圖書(shū)的單價(jià)為20元；
（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)a本，則購(gòu)進(jìn)乙種圖書(shū)（40-a）本，根據(jù)題意得：
W=30a+20（40-a）=800+10a，
即W=10a+800；
②$\left\{\begin{array}{l}{10a+800≤1050}\\{a≥40-a}\end{array}\right.$
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，則40-a=20、19、18、17、16、15
∴共有6種方案；
由W=10a+800可知：
當(dāng)a取最小值時(shí)，W最小，
∴a=20，W最小=1000元；
（3）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{30a+20b=690①}\\{a+b＞30②}\end{array}\right.$，
由①得a=$\frac{69-2b}{3}$=23-$\frac{2}{3}$b，
代入②解得b＞21，
∵a、b都是整數(shù)，
∴b必須是3的倍數(shù)，
∴b=24，27，30，33．
故答案為24，27．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的運(yùn)用，一元一次不等式組的運(yùn)用，理解題意，抓住題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．