Question

10．在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．
（1）如圖①，若E為AB中點，求證：AE=DB．
（2）如圖②，若E為AB上任一點（端點除外），AE=DB是否仍然成立？試說明理由．
（3）等邊△ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明BD=BE即可解決問題．
（2）結論：AE=BD．如圖2中，作EF∥BC交AC于F．只要證明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE．
（3）分兩種情形討論如圖3中，當E在BA的延長線上時，作EF∥AC交BD的延長線于F，易證△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．如圖4中，當E在AB的延長線上時，作EF∥BC交AC的延長線于F，易證△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．


（2）結論：AE=BD．理由如下：
如圖2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=E=AFF，∠AFE=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
∵∠D=∠ECB=∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EFC}\\{∠D=∠CEF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴BD=EF=AE，
∴BD=AE，

（3）如圖3中，當E在BA的延長線上時，作EF∥AC交BD的延長線于F，
易證△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．
如圖4中，當E在AB的延長線上時，作EF∥BC交AC的延長線于F，
易證△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．
綜上所述，CD的長為1或3．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質．等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．