Question

15．如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居民點B，A、B的直線距離是13千米．一天，居民點B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時，而在草地上的最快速度是40千米/小時，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$小時可到達居民點B．（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進入草地行駛．）

Answer 1

分析 要求所用行車時間最短，就要計算好行駛的路線，可以設在公路上行駛x千米，根據(jù)題意，找出可以運用勾股定理的直角三角形，運用勾股定理求解．

解答 解：如圖所示，公路上行駛的路線是AD，草地上行駛的路線是DB，設AD的路程為x千米，
由已知條件AB=13千米，BC=5千米，BC⊥AC，知
AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12千米．
則CD=AC-AD=（12-x）千米，
BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（12-x）^{2}+{5}^{2}}$km，
設走的行駛時間為y，則
y=$\frac{x}{80}$+$\frac{\sqrt{（12-x）^{2}+25}}{40}$．
整理為關(guān)于x的一元二次方程得
3x²+（160y-96）x-6400y²+676=0．
因為x必定存在，所以△≥0．即
（160y-96）²-4×3×（676-6400y²）≥0．
化簡得3400y²-6400y+23≥0．
解得y≥$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}+12}{80}$．

點評 本題考查的是在直角三角形中勾股定理的運用，畫出圖形構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵，根據(jù)一元二次不等式的求解，可以計算出解的最小值，以便求出最短路程．