Question

10．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．此時∠AOM=120度；
（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；
（3）將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是6或24秒．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度數(shù)除以2，求出∠BOM的度數(shù)，即可求出∠AOM的度數(shù)是多少．
（2）首先根據(jù)∠AOM-∠NOC=30°，∠BOC=120°，求出∠A0C=60°，然后根據(jù)∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，判斷出∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系即可．
（3）首先設(shè)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是x秒，根據(jù)∠BOC=120°，可得∠AOC=60°，∠BON=∠COD=30°；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)60°時ON平分∠AOC，可得10x=60或10x=240，據(jù)此求出x的值是多少即可．

解答 解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-120°=60°．

（2）如圖3，，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°．

（3）設(shè)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
∴旋轉(zhuǎn)60°時ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是6或24秒．
故答案為：120、6或24．

點評 此題主要考查了角的計算，考查了分類討論思想的應(yīng)用，以及角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．