Question

1．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點，點P為x軸負半軸上一點，PC交AM于E，若AE=CE，求點P的坐標．

Answer 1

分析 先求出A、C、M的坐標，可知AB=BC，又AE=CE，所以點E在二四象限的角平分線y=-x上，求出直線AM的解析式，再求出y=-x與AM的交點E的坐標，然后求出直線CE的解析式與x軸的交點坐標，即為所求．

解答 解：令y=0，則0=-x²-2x+3，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴M（-1，4），
∵C（0，3）
∴OA=OC=3，
∵AE=CE，
∴點E在二四象限的角平分線y=-x上，
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=2x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴E（-2，2），
設(shè)直線CE的解析式為：y=mx+n，則
$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-2m+n=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+3，
∵直線CE與x軸交于點P，
∴令y=0，則0=$\frac{1}{2}$x+3，
解得：x=-6，
∴P（-6，0）．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、數(shù)形結(jié)合求交點坐標，通過OA=OC，AE=CE發(fā)現(xiàn)點E在y=-x上是解決問題的關(guān)鍵．