Question

15．我們定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的衍生數(shù)．如：2的衍生數(shù)是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的衍生數(shù)是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若a的衍生數(shù)等于$\frac{2}{3}$，則a的值為$-\frac{1}{2}$．
（2）已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的衍生數(shù)，a₃是a₂的衍生數(shù)，a₄是a₃的衍生數(shù)…以此類推，a₂₀₁₅的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得分式方程：$\frac{1}{1-a}$=$\frac{2}{3}$，解此方程即可求得答案；
（2）首先根據題意求得a₂，a₃，a₄的值，可得規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，繼而求得答案．

解答 解：（1）根據題意得：$\frac{1}{1-a}$=$\frac{2}{3}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
經檢驗，a=-$\frac{1}{2}$是原分式方程的解．
即a=-$\frac{1}{2}$；
故答案為：$-\frac{1}{2}$；

（2）∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₁的衍生數(shù)a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₂的衍生數(shù)a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₃的衍生數(shù)a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
a₄的衍生數(shù)a₅=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$；
∴a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，
∵2015÷3=671…2；
∴a₂₀₁₅=a₂=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 此題考查了分式方程的求解方法．此題難度適中，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)是解此題的關鍵．