Question

8．已知EF∥GH，直線KL與EF、GH分別交于點(diǎn)A、B．
（1）如圖1，∠FAB與∠ABH的角平分線相交于點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫出∠ACB度數(shù)；
（2）如圖2，∠FAB與∠ABH的三等分線分別相交于點(diǎn)M、N、P、Q．
①求∠AMB和∠ANB的度數(shù)；
②猜想∠APB與∠AQB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的三等分線的意義即可得到結(jié)論，
②根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的三等分線的意義以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵EF∥GH，
∴∠FAB+∠HBA=180°，
∵AC平分∠FAB，BC平分∠HBA，
∴∠CAB+∠CBA=$\frac{1}{2}$（∠FAB+HBA）=90°，
∴∠ACB=90°；
（2）①∵AQ，BP三等分∠FAB，∠ABH，
∴∠MAB+∠ABM=$\frac{1}{3}$（∠FAB+∠ABH），∠NAB+∠ABN=$\frac{2}{3}$（∠FAB+∠ABH），
由（1）知∠FAB+∠ABH=180°，
∴∠MAB+∠ABM=$\frac{1}{3}$（∠FAB+∠ABH）=60°，∠NAB+∠ABN=$\frac{2}{3}$（∠FAB+∠ABH）=120°，
∴∠AMB=180°-60°=120°，∠ANB=180°-120°=60°，
②猜想：∠APB+∠AQB=180°，
∵∠PAB=$\frac{2}{3}$∠FAB，∠ABP=$\frac{1}{3}$∠ABH，∠QAB=$\frac{1}{3}$∠FAB，∠ABQ=$\frac{2}{3}$∠ABH，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-$\frac{2}{3}$∠FAB-$\frac{1}{3}$∠ABH，
∠AQB=180°-∠QAB-∠ABQ=180°-$\frac{1}{3}$∠FAB-$\frac{2}{3}$∠ABH，
∴∠APB+∠AQB=（180°-$\frac{2}{3}$∠FAB-$\frac{1}{3}$∠ABH）+（180°-$\frac{1}{3}$∠FAB-$\frac{2}{3}$∠ABH）=360-（∠FAB+∠ABH）=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，正確的理解角平分線和三等分線的意義是解題的關(guān)鍵．