Question

3．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D，E為AC的中點，延長ED交⊙O于F．
（1）求證：∠BAO=∠ADE；
（2）若F為劣弧$\widehat{CB}$的中點，且EF=AC，若AD=2CD，求$\frac{AB}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）作直徑AM，連結(jié)BM，如圖，利用圓周角定理得∠BAM+∠M=90°，∠C=∠M，則∠BAM=∠DAC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AE=DE，則∠ADE=∠DAE，于是可得∠BAO=∠ADE；
（2）連結(jié)OF交BC于G，作EH⊥CD于H，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AE=DE=CE，再利用等腰三角形的性質(zhì)有DH=CH，設(shè)DH=CH=x，則AD=2CD=4a，接著證明DE=DF，OF⊥BC，BG=CG，然后證明△DGF≌△DHE得到DG=DH=x，于是可表示出BG=CG=3a，BD=BG+DG=4a，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解．

解答 （1）證明：作直徑AM，連結(jié)BM，如圖，
∵AM為直徑，
∴∠ABM=90°，
∴∠BAM+∠M=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠C=∠M，
∴∠BAM=∠DAC，
∵E為AC的中點，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴∠BAO=∠ADE；
（2）解：連結(jié)OF交BC于G，作EH⊥CD于H，如圖，
∵E為AC的中點，
∴AE=DE=CE，
∴DH=CH，
設(shè)DH=CH=x，則AD=2CD=4a，
∵EF=AC，
∴EF=2DE，
∴DE=DF，
∵F為劣弧$\widehat{CB}$的中點，
∴OF⊥BC，BG=CG，
在△DGF和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠DHE}\\{∠FDG=∠HDE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△DHE，
∴DG=DH=x，
∴CG=DG+CD=3a，
∴BG=CG=3a，
∴BD=BG+DG=4a，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{2}$BD，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．