Question

5．在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，若拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+2經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q（0，-2）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，問在y軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以M為圓心，以$\frac{\sqrt{10}}{2}$為半徑的圓與直線BC相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出△AOB≌△CDA，從而求得OA=CD=1，AD=OB=2，即可求得C的坐標(biāo)，然后把C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得b；
（2）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²，設(shè)EF的解析式為y=kx-2（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H．由△PEF的內(nèi)心在y軸上，得出∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，那么△GEP∽△HFP，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；
（3）根據(jù)B、C坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，求得直線與x軸的解得坐標(biāo)，在y軸上去一點(diǎn)K，作KS⊥BC于S，使KS=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，易證得△BOG∽△BSK，由對(duì)應(yīng)邊成比例求得BK的出，既然求得K的坐標(biāo)，過K點(diǎn)作BC平行線交拋物線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，求得平行線的解析式，然后和拋物線的解析式聯(lián)立方程即可求得．

解答 解：（1）如圖1，∵點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，
∴AB=AC，
連接AB，作CD⊥OD于D，
∵△AOB≌△CDA，
∴OA=CD，AD=OB，
∴C（3，-1），
∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+2經(jīng)過點(diǎn)C．
∴-1=-$\frac{1}{2}$×9+3b+2，解得b=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（2）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，拋物線為y=-$\frac{1}{2}$x²，
設(shè)EF的解析式為y=kx-2（k≠0）．
假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t），
如圖2，過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H．
∵△PEF的內(nèi)心在y軸上，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴GP：PH=GE：HF，
∴-x_E：x_F=（t-y_E）：（t-y_F）=（t-kx_E+2）：（t-kx_F+2），
∴2kx_E•x_F=（t+2）（x_E+x_F），
 由y=-$\frac{1}{2}$x²，y=kx-2，得x²+2kx-4=0，
∴x_E+x_F=-2k，x_E•x_F=-4，
∴2k（-4）=（t+2）•（-2k），
∵k≠0，∴t=2，
∴y軸的正半軸上存在點(diǎn)P（0，2），使△PEF的內(nèi)心在y軸上；
（3）∵B（0，-2），C（3，-1），
設(shè)直線BC的解析式為y=mx-2，
∴-1=3m-2，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x-2，
∴直線BC與x軸的交點(diǎn)G（6，0），
∴OB=2，OG=6，
∴BG=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在y軸上去一點(diǎn)K，作KS⊥BC于S，使KS=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠BOG=∠BSK=90°，∠OBG=∠SBK，
∴△BOG∽△BSK，
∴$\frac{BK}{BG}$=$\frac{KS}{OG}$，即$\frac{BK}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{6}$，
∴BK=$\frac{5}{3}$，
∴OK=$\frac{1}{3}$或$\frac{11}{3}$，
∴K（0，-$\frac{1}{3}$）或（0，-$\frac{11}{3}$）
作KM∥BC交拋物線與M，
∴直線KM為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$或y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{11}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{409}}{6}}\\{y=-\frac{5-\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{409}}{6}}\\{y=-\frac{5+\sqrt{409}}{18}}\end{array}\right.$，
∴在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以M為圓心，以$\frac{\sqrt{10}}{2}$為半徑的圓與直線BC相切，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-1）或（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{9}$）或（$\frac{1+\sqrt{409}}{6}$，-$\frac{5-\sqrt{409}}{18}$）或（$\frac{1-\sqrt{409}}{6}$，-$\frac{5+\sqrt{409}}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)平移的規(guī)律，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．