Question

11．如圖1．拋物線y=x²+1的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交x軸于點(diǎn)C（t，0）
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)：
（2）過(guò)點(diǎn)C作BC∥y軸，交拋物線于點(diǎn)B，連接BM．
①求證：BM⊥AC；
②如圖2，AB與y軸交于點(diǎn)F，連接CF，當(dāng)CF∥AO時(shí)．求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先確定M（0，1），再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①如圖1，B（t，t²+1），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到CM²=1+t²，BM²=t²+t⁴，BC²=t⁴+2t²+1，然后根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCM為直角三角形，從而得到BM⊥CM；
②如圖2，先利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{t}$x+1，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{t}x+1}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$得A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2，則F（0，2），所以O(shè)M=FM，接著證明四邊形AOCF為平行四邊形得到AB∥x軸，求出此時(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算AC的長(zhǎng)．

解答 （1）解：當(dāng)t=2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵拋物線y=x²+1的頂點(diǎn)為M，
∴M（0，1），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把M（0，1），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
（2）①證明：如圖1，
∵CB⊥x軸，
而C（t，0），
∴B（t，t²+1），
∵CM²=1+t²，BM²=t²+（t²+1-1）²=t²+t⁴，BC²=（t²+1）²=t⁴+2t²+1，
∴CM²+BM²=BC²，
∴△BCM為直角三角形，
∴∠BMC=90°，
∴BM⊥CM；
②解：如圖2，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把M（0，1），C（t，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{tm+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{t}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{t}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{t}x+1}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{t}}\\{y=\frac{1}{{t}^{2}}+1}\end{array}\right.$，則A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），
設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，
把A（-$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），B（t，t²+1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{t}•p+q=\frac{1}{{t}^{2}}+1}\\{t•p+q={t}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=t-\frac{1}{t}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=（t-$\frac{1}{t}$）x+2=2，則F（0，2），
∴OM=FM，
∵OA∥CF，
∴△OMA∽△FMC，
∴$\frac{OA}{CF}$=$\frac{OM}{FM}$=1，
∴OA=CF，
∴四邊形AOCF為平行四邊形，
∴AB∥x軸，
當(dāng)y=2時(shí)，x²+1=2，解得x₁=1，x₂=-1，此時(shí)A（-1，2），B（1，2），
∴C（1，0），
∴AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，通過(guò)解方程組求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；能運(yùn)用勾股定理的逆定理證明直角三角形，用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．