Question

4．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象相交于C，D兩點(diǎn)，分別過C，D兩點(diǎn)作軸，軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連結(jié)CF，DE，有下列結(jié)論：
①△CEF與△DEF的面積相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面積等于$\frac{k}{2}$，
其中正確的是①②④⑤．（填序號(hào)）

Answer 1

分析 此題要根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，解決此題的關(guān)鍵是要證出CD∥EF，可從①問的面積相等入手；△DFE中，以DF為底，OF為高，可得S_△DFE=$\frac{1}{2}$|x_D|•|y_D|=$\frac{1}{2}$k，同理可求得△CEF的面積也是$\frac{1}{2}$k，因此兩者的面積相等；若兩個(gè)三角形都以EF為底，那么它們的高相同，即E、F到AD的距離相等，由此可證得CD∥EF，然后根據(jù)這個(gè)條件來逐一判斷各選項(xiàng)的正誤．

解答 解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，$\frac{k}{x}$），則F（x，0）．
由函數(shù)的圖象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$|x_D|•|$\frac{k}{{x}_{D}}$|=$\frac{1}{2}$k，
同理可得S_△CEF=$\frac{1}{2}$k，故⑤正確；
故S_△DEF=S_△CEF．故①正確；
若兩個(gè)三角形以EF為底，則EF邊上的高相等，故CD∥EF．故②正確；
③條件不足，無法得到判定兩三角形全等的條件，故③錯(cuò)誤；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形DBEF是平行四邊形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC邊上的高相等，
∴BD=AC，故④正確；
法2：∵四邊形ACEF，四邊形BDEF都是平行四邊形，
而且EF是公共邊，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來證圖形的面積相等，根據(jù)面積相等來證線段的平行或相等，設(shè)計(jì)巧妙，難度較大．