Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°．若AD=$\sqrt{6}$，則AB=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 作AE=AB交BC延長線于E點，則∠B=∠E，而∠B=∠D，得到∠D=∠E，由∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA，然后根據(jù)“AAS”可判斷△DAC≌△ECA，根據(jù)全等的性質(zhì)得CD=AE，于是有CD=AB，求出CD即可．

解答 解：如圖：
作AE=AB交BC延長線于E點，過A作AM⊥DC于M，
則∠AMD=∠AMC=90°，∠B=∠E=45°，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°，
∵∠DAB=105°，
∴∠DAC=75°，
∴∠DAC+∠CB=180°，
∵∠ACB+∠ECA=180°，
∴∠DAC=∠ECA，
在△DAC和△ECA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECA}\\{∠D=∠E}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△ECA，
∴CD=AE，
∴CD=AB，
在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=$\sqrt{6}$，∠D=45°，
∴DM=AD×cos45°=$\sqrt{3}$，AM=AD×sin45°=$\sqrt{3}$，∠DAM=45°，
∵∠DAC=75°，
∴∠MAC=30°，
∴CM=AM×tan30°=1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1，
即AB=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應用，能正確作出輔助線和求出CD=AB是解此題的關(guān)鍵，難度偏大．