Question

20．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則⊙O的半徑的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 首先證明AB=AC，再根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，則可得到⊙O的半徑的最小值．

解答 解：連接OB．如圖1，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC，
作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，如圖2，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$，
又∵圓O與直線MN有交點，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$≤r，
∴$\sqrt{{5}^{2}-{r}^{2}}$≤2r，
即：25-r²≤4r²，
∴r²≥5，
∴r≥$\sqrt{5}$，
故選C．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識點的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．