Question

15．在矩形ABCD中，AD=10，AB=8，點E、F在直線AD上，且四邊形BCFE為菱形．若線段EF的中點為G，則∠ABG的正切值是$\frac{11}{8}$或$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 兩種情況：①由矩形的性質得出CD=AB=8，BC=AD=10，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性質得出CF=EF=BE=BC=10，由勾股定理求出DF，得出GF，即可求出AG；②同①得出AE=6，求出GE，即可得出AG的長，然后解直角三角形即可求得．

解答 解：分兩種情況：①如圖1所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠ADC=∠CDF=90°，
∵四邊形BCFE為菱形，
∴CF=EF=BE=BC=10，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∴AF=AD+DF=16，
∵G是EF的中點，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=5，
∴AG=AF-DF=16-5=11，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{11}{8}$；
②如圖2所示：同①得：AE=6，
∵G是EF的中點，
∴GE=5，
∴AG=AE-GE=1，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{8}$；
故答案為：$\frac{11}{8}$或$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了解直角三角形、矩形的性質、菱形的性質、勾股定理；熟練掌握矩形和菱形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．