Question

7．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，CD=3，AB=9，AD=5，點(diǎn)P是腰AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使PC+PB最小，其最小值為（　�。�

• A． 13
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{82}$
• D． $\sqrt{85}$

Answer 1

分析 作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′與AD相交于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)P即為使PC+PB最小的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，求出BE、C′E，再利用勾股定理列式求出BC′，即為PC+PB的最小值．

解答 解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′與AD相交于點(diǎn)P，
由軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)P即為使PC+PB最小的點(diǎn)，PC+PB=BC′，
過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴∠ADC′=90°，
又∵C′E⊥AB，
∴四邊形ADC′E是矩形，
∴AE=C′D=CD=3，
C′E=AD=5，
∴BE=AE+AB=3+9=12，
在Rt△BC′E中，由勾股定理得，BC′=$\sqrt{B{E}^{2}+C′{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即PC+PB的最小值=13．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．