Question

8．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE=1．以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABE'，連接EE'．
（1）△AEE'是等腰直角三角形，請說明理由；
（2）過點A畫AH垂直于EE'，求EE′、AH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，在Rt△ADE中利用勾股定理可計算出AE=$\sqrt{10}$，由于△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABE′，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，則可判斷△EAE′為等腰直角三角形；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EE′=$\sqrt{2}$EA，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，
在Rt△ADE中，DE=1，AD=3，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABE′，
∴∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，
∴△EAE′為等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角；
（2）∵△EAE′為等腰直角三角形，
∴EE′=$\sqrt{A{E}^{2}+AE{′}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△AEE'=$\frac{1}{2}$AE•AE′=$\frac{1}{2}$EE′•AH，
∴EE'•AH=AE•AE'，
即 2$\sqrt{5}$•AH=$\sqrt{10}$•$\sqrt{10}$，
∴AH=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．