Question

11．已知$\frac{{11-\sqrt{3}}}{3}$的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，試解方程x²+（1-m）x-（2+$\sqrt{3}$）mn=0．

Answer 1

分析 求出$\frac{{11-\sqrt{3}}}{3}$的取值范圍，確定m，n的值代入解方程即可．

解答 解：∵1$＜\sqrt{3}＜2$，
∴$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，
∵$\frac{{11-\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{11}{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$-\frac{2}{3}$＜$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$＜-\frac{1}{3}$，
∴3＜$\frac{11-\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{10}{3}$，
∴m=3，n=$\frac{11}{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$-3=$\frac{2-\sqrt{3}}{3}$，
∴mn=2-$\sqrt{3}$，
∴x²+（1-m）x-（2+$\sqrt{3}$）mn=x²-2x-1
∴x²-2x-1=0
解得：${x}_{1}=\sqrt{2}+1$，x₂=$-\sqrt{2}+1$．
∴方程x²+（1-m）x-（2+$\sqrt{3}$）mn=0的解為：${x}_{1}=\sqrt{2}+1$，x₂=$-\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了估算無理數(shù)的大小和解一元二次方程，用夾逼法解得m，n的值是解答此題的關(guān)鍵．