Question

5．如圖1，在邊長(zhǎng)為4cm的菱形ABCD中，∠BAD═60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度，按照A→B→C的順序勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)P為圓心，半徑為r的圓隨之運(yùn)動(dòng)，且半徑r（cm）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系如圖2，圖中EF是一條平行于x軸的線段，F(xiàn)G是以點(diǎn)F為頂點(diǎn)的一段拋物線，當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．

Answer 1

分析 先根據(jù)圖2得：0-1秒時(shí)，⊙P半徑r不變都是1，1-2秒時(shí)，求出直線GH的關(guān)系式為：r═-$\frac{8}{9}$（t-1）²+1，根據(jù)菱形一個(gè)內(nèi)角為60°得∠BAC=30°；當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論，分別在AB和BC上與AC相切，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)列式求出對(duì)應(yīng)的t值．

解答 解：如圖2，∵頂點(diǎn)F（1，1）
設(shè)拋物線的解析式為：r=a（t-1）²+1，
把G（2，$\frac{1}{9}$）代入得：$\frac{1}{9}$=a（2-1）²+1，
解得：a=-$\frac{8}{9}$，
∴拋物線的解析式為：r=-$\frac{8}{9}$（t-1）²+1（1≤t≤2），

當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上與AC相切時(shí)，如圖1，
設(shè)切點(diǎn)為E，連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵四邊形ABCD為菱形，
∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC上與AC相切時(shí)，如圖2，
設(shè)切點(diǎn)為F，連接P₂E，則P₂F⊥AC，P₂F=r，
則P₂C=2r，
∵P₂C=AB+BC-4t=8-4t，
則$\left\{\begin{array}{l}{2r=8-4t}\\{r=-\frac{8}{9}（t-1）^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得：t=$\frac{7}{4}$，t=$\frac{5}{2}$（不合題意，舍去）
綜上所述：當(dāng)⊙P與對(duì)角線AC相切時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．
故答案為：$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：①菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，②菱形的四邊相等；圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；以及一次函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，本題是一個(gè)分段函數(shù)，從圖象中讀出⊙P的半徑，并與方程相結(jié)合，采用了分類討論的思想，使問題得以解決．