Question

18．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．
（1）求證：四邊形BFEP為菱形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形BFEP的邊長；
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；
（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對(duì)稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD-DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=$\frac{5}{3}$cm即可；
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四邊形BFEP為菱形；
（2）解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=4cm，
∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE，
∴EP²=1²+（3-EP）²，
解得：EP=$\frac{5}{3}$cm，
∴菱形BFEP的邊長為$\frac{5}{3}$cm；
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2：
點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3所示：
點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，
∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．