Question

10．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、BC邊上點(diǎn)，連結(jié)DE、AE、CD，P、Q、M、N分別是DE、CD、AC、AE的中點(diǎn)，順次連接P、Q、M、N得四邊形PQMN．
（1）判定四邊形PQMN的形狀并證明你的結(jié)論：
（2）若BD=BE，AB=BC，判定四邊形PQMN的形狀并證明你的結(jié)論：
（3）在（2）的條件下，如果∠B=90°，請?jiān)趫D3中畫出符合條件的圖形，并直接寫出此時(shí)四邊形PQMN的形狀．

Answer 1

分析 （1）由P、Q分別是DE、DC的中點(diǎn)、M、N分別是AC、AE的中點(diǎn)知PQ∥EC且PQ=$\frac{1}{2}$EC、MN∥EC且MN=$\frac{1}{2}$EC，從而得PQ∥MN且PQ=MN，即可得出四邊形PQMN是平行四邊形；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由BD=BE、AB=BC知AD=EC，從而由得PN=$\frac{1}{2}$AD、PQ=$\frac{1}{2}$EC得PN=PQ，即可得出四邊形PQMN是菱形；
（3）在（1）的基礎(chǔ)上，由MN∥BC、MQ∥AB知MN⊥MQ，即∠NMQ=90°，即可得四邊形PQMN是矩形．

解答 解：（1）∵P、Q分別是DE、DC的中點(diǎn)，
∴PQ是△DEC的中位線，
∴PQ∥EC，且PQ=$\frac{1}{2}$EC，
∵M(jìn)、N分別是AC、AE的中點(diǎn)，
∴MN是△AEC的中位線，
∴MN∥EC，且MN=$\frac{1}{2}$EC，
∴PQ∥MN，且PQ=MN，
∴四邊形PQMN是平行四邊形；

（2）四邊形PQMN是菱形，
∵P、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，P、Q是DE、DC的中點(diǎn)，
∴PN是△DEA的中位線，PQ是△DEC的中位線，
∴PN=$\frac{1}{2}$AD、PQ=$\frac{1}{2}$EC，
∵BD=BE、AB=BC，
∴AB-BD=BC-BE，即AD=EC，
∴PN=PQ，
由（1）知四邊形PQMN是平行四邊形，
∴四邊形PQMN是菱形；

（3）四邊形PQMN是矩形，

∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵M(jìn)N∥BC，MQ∥AB，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∵由（1）知四邊形PQMN是平行四邊形，
∴四邊形PQMN是矩形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定、三角形中位線定理；熟練掌握三角形的中位線定理與矩形、菱形與平行四邊形間的聯(lián)系是解決問題的關(guān)鍵．