Question

18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于題目沒(méi)有說(shuō)明直線AB與⊙O有交點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，然后證明OC=OF即可；
（2）連接CE，先求證∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，而tan∠D=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切線；

（2）如圖，連接CE，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，
∵tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．