Question

19．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)C是半徑OA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)O、A不重合），過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥OD交⊙O于點(diǎn)E、交射線CD于點(diǎn)F．
（1）若$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$，求∠F的度數(shù)；
（2）①求證：BE=2OC；
②設(shè)CO=x，EF=y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，$\widehat{ED}=\widehat{BE}$，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度數(shù)；
（2）①作OH⊥BE，垂足為H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，得出BE=2CO，
②易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得$\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$，則可求得y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)為P在線段OE上，然后分別從PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）連接OE，
∵$\widehat{ED}=\widehat{BE}$，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）①如圖，
作OH⊥BE，垂足為H，
∵在△HBO和△COD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠OHB}\\{∠OBE=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$

∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∴BE=2CO
②∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴$\frac{OD}{BF}=\frac{OC}{BC}$，
$\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$，
∴y=$\frac{-2{x}^{2}+4x+16}{x}$（0＜x＜4）；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)為P在線段OE上，
若△PBE為等腰三角形，
設(shè)CO=x，
∴OP=OC=x，
則PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①當(dāng)PB=PE，不合題意舍去；
②當(dāng)EB=EP，2x=4-x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
③如圖2，

當(dāng)BE=BP，作BM⊥OE，垂足為M，
∴EM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{4-x}{2}$，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴$\frac{BE}{DO}=\frac{EM}{OC}$，
∴$\frac{2x}{4}=\frac{\frac{4-x}{2}}{x}$
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$（負(fù)數(shù)舍去），
綜上所述：當(dāng)OC的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，△PBE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用