Question

14．如圖，已知直線y=-$\frac{6}{5}$x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線l∥x軸且在一象限交AB于E，F(xiàn)為l上一點，連接AF、BF，線段BF所在的直線y=-x+6．
（1）若直線l經(jīng)過（0，2），求E、F兩點的坐標．
（2）若△ABF的面積是四邊形AOBF面積的$\frac{1}{10}$，求點E、F兩點的坐標．
（3）M在y軸正半軸上，OM=$\frac{5}{6}$OB，在直線AM上找一點P，使S_△ABP=S_△AOB，求點P的坐標．

Answer 1

分析 先設(shè)出直線l的解析式，表示出點E，F(xiàn)坐標；
（1）由m=2代入點E，F(xiàn)坐標即可得出結(jié)論；
（2）用面積公式表示出三角形ABF和四邊形AOBF的面積，用面積關(guān)系建立方程求解即可；
（3）先確定出直線AM解析式，同（2）的方法分兩種情況計算即可．

解答 解：∵直線y=-$\frac{6}{5}$x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（0，6），B（5，0），
設(shè)直線l的解析式為y=m，（0＜m＜6），
∵直線l∥x軸且在一象限交AB于E，
∴令y=m，
∴m=-$\frac{6}{5}$x+6．
∴x=$\frac{5}{6}$（6-m），
∴E（$\frac{5}{6}$（6-m），m）
∵線段BF所在的直線y=-x+6，
令y=m，
∴-x+6=m，
∴x=6-m，
∴F（6-m，m），
∴G（0，m）
（1）如圖1，

∵直線l經(jīng)過（0，2），
∴E（$\frac{10}{3}$，2），F(xiàn)（4，2），
（2）S_△ABF=S_△BEF+S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF×BG+$\frac{1}{2}$EF×OG=$\frac{1}{2}$EF×（BG+OG）=$\frac{1}{2}$EF×OB=$\frac{1}{2}$×6[6-m-$\frac{5}{6}$（6-m）]=$\frac{1}{2}$（6-m），
S_{四邊形AOBF}=S_△BGF+S_梯形AOGF=$\frac{1}{2}$FG×BG+$\frac{1}{2}$（GF+OA）×OG=$\frac{1}{2}$（6-m）（6-m）+$\frac{1}{2}$（6-m+5）×m=$\frac{1}{2}$（36-m），
∵△ABF的面積是四邊形AOBF面積的$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{2}$（6-m）=$\frac{1}{2}$（36-m）×$\frac{1}{10}$，m\
∴m=$\frac{8}{3}$，
∴E（$\frac{25}{9}$，$\frac{8}{3}$），F(xiàn)（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），
（3）如圖2，

∵M在y軸正半軸上，OM=$\frac{5}{6}$OB=$\frac{5}{6}$×6=5，
∴M（0，5），
∵A（5，0），
∴直線AM解析式為y=-x+5
∵A（5，0），B（0，6），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=15，
∵S_△ABP=S_△AOB，
∴S_△ABP=15，
設(shè)P（n，-n+5）
∵點M在OB上，
∴點P只能在線段AM的延長線上或在線段MA的延長線上，
①當點P在AM的延長線上時，S_△ABP'=S_△BMP'+S_△BMA=$\frac{1}{2}$BM×|x_P|+$\frac{1}{2}$BM×|x_A|=$\frac{1}{2}$BM×（|x_P|+|x_A|）=$\frac{1}{2}$×1×（|n|+5）=15，
∴n=25（舍）或n=-25，
∴P'（-25，30），
當點P在MA的延長線上時，S_△ABP=S_△BMP-S_△BMA=$\frac{1}{2}$BM×|x_P|-$\frac{1}{2}$BM×|x_A|=$\frac{1}{2}$BM×（|x_P|-|x_A|）=$\frac{1}{2}$×1×（|n|-5）=15，
∴n=-35（舍）或n=35，
∴P'（35，-30），
故點P的坐標（-25，30）或（35，-30）．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形，梯形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是坐標系中幾何圖形的面積的計算方法，是一道比較簡單的中考常考題．