Question

9．如圖，⊙O與射線AM相切于點B，⊙O的半徑為3．連結(jié)DA，作OC⊥OA交⊙O于點C，連結(jié)BC，交DA于點D．
（1）求證：AB=AD；
（2）若OD=1，求AB的長；
（3）是否存在△AOB與△COD全等的情形？若存在，求AB的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由OB=OC得出∠OCB=∠OBC，再利用對頂角和互余得出∠OBC+∠ADB=90°，再由切線的性質(zhì)得出∠OBC+∠ABD=90°進(jìn)而得出∠ABD=∠ADB即可；
（2）借助（1）的結(jié)論和勾股定理計算即可；
（3）分兩種情況討論計算：①計算出∠AOB和∠ODC，判斷出這兩個角不相等，得出此種情況不存在；
②先判斷出點D是AD的中點，進(jìn)而用勾股定理計算即可的出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OC⊥OA，
∴∠OCB+∠ODC=90°，
∴∠OBC+∠ODC=90°，
∵∠ADB=∠ODC，
∴∠OBC+∠ADB=90°，
∵⊙O與射線AM相切于點B，
∴∠ABO=90°，
∴∠OBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）由（1）知，AB=AD，
∴OA=AD+OD=AD+1，
在Rt△ABO中，AB²+OB²=OA²，
AD²+9=（AD+1）²，
∴AB=AD=4；
（3）存在，
理由：∵△AOB和△COD都是直角三角形，
∴△AOB與△COD全等，
只有AB=OC或AB=OD，
①當(dāng)AB=OC時，
∵OB=OC，
∴AB=OB=3，
∴∠A=∠AOB=45°，
∵AB=AD，
∴∠ODC=∠ADB=67.5°≠∠AOB，
∴此種情況不存在，
②當(dāng)AB=OD時，
∵AD=AB，
∴AD=OD，即：OA=2AD=2AB，
在Rt△ABO中，OB=3，
根據(jù)勾股定理得，AB²+OB²=AD²，
∴AB²+9=4AB²，
∴AB=$\sqrt{3}$
即：存在△AOB與△COD全等，此時AB=$\sqrt{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出AD=AB．