Question

11．如圖1，在⊙O中，AB、AC是兩條弦，過點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，且AB=2OD．
（1）求證：∠A=90°；
（2）如圖2，在弦AB的延長線上取一點(diǎn)E，連接CE交⊙O于點(diǎn)F，若$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，求證：點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，如圖3，過點(diǎn)A作AH⊥CF于點(diǎn)H，連接OE交AH于點(diǎn)M，若AM=8，F(xiàn)H=$\frac{7}{2}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建兩個平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得：四邊形AOCG是菱形，則AG=OC，再證明四邊形ABOG是平行四邊形，得：AB∥OG，可得結(jié)論；
（2）如圖2，由弧相等，則所對的弦相等，由等邊對等角得：∠FAC=∠FCA，由直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，證明△FMN≌△FMH，得∠MFH=∠MFN，由直角三角形直角邊和斜邊的關(guān)系得：∠FAH=30°，依次求AH、AE、AC的長，最后在直角△ODC中，根據(jù)30°的正切得OD的長，從而求AB的長．

解答 證明：（1）如圖1，延長OD到G，連接AG、GC、OC、AO、OB，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴四邊形AOCG是菱形，
∴AG=OC，
∵OB=OC，
∴AG=OB，
∵AB=2OD，OG=2OD，
∴AB=OG，
∴四邊形ABOG是平行四邊形，
∴AB∥OG，
∵OG⊥AC，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°；

（2）如圖2，連接AF，
∵$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
由（1）得：∠EAC=90°，
∴∠EAF+∠FAC=90°，
∠AEC+∠FCA=90°，
∴∠EAF=∠AEC，
∴AF=EF，
∴EF=CF；
（3）如圖3，連接AF、BF、OA、OF、OC，過O作ON⊥EC于N，
則NF=NC，
∵EF=FC，
∴EN=3FN，
∵AF=FC，OD⊥AC，OA=OC，
∴F、O、D三點(diǎn)共線，
∴∠OFN=∠AEC，
∴tan∠OFN=tan∠AEC=$\frac{AH}{EH}=\frac{ON}{FN}$，
∵tan∠OEN=$\frac{ON}{EN}$=$\frac{ON}{3FN}$，
∴AH=3MH，
即AM+MH=3MH，
AM=2MH，
∵AM=8，
∴MH=4，
∴AH=12，
∴CF=AF=$\sqrt{A{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴CH=$\frac{25}{2}$-$\frac{7}{2}$=9，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵∠AOD=∠AFH，
∴tan∠AOD=tan∠AFH=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AH}{FH}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}}{OD}=\frac{12}{\frac{7}{2}}$，
∴OD=$\frac{35}{16}$，
∴AB=2OD=$\frac{35}{8}$．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題，考查了弦心距與弦的關(guān)系、圓心角與同弧所對的圓周角的關(guān)系、三角函數(shù)、直角三角形30°角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，難度適中，第3問，作出輔助線，證明∠FAH=30°是關(guān)鍵．