Question

10．如圖，已知A是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)的一點，O為坐標原點，直線OA交雙曲線于另一點C，當OA在第一象限的角平分線上時，將OA向上平移$\frac{3}{2}$個單位后，與雙曲線在第一象限交于點M，交y軸于點N，若$\frac{OA}{MN}$=2，
（1）求直線MN的解析式；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）設直線MN的解析式為y=x+b，把N（0，$\frac{3}{2}$）代入，可得直線MN的解析式；
（2）過A作AB⊥y軸于B，過M作MD⊥y軸于D，則∠MDN=∠ABO=90°，根據(jù)△MDN∽△ABO，可得$\frac{AB}{MD}$=$\frac{AO}{MN}$=2，設A（a，a），則可得M（$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），根據(jù)雙曲線經(jīng)過點A，M，即可得到k的值．

解答 解：（1）∵OA在第一象限的角平分線上，
∴直線OA的解析式為y=x，
∴將OA向上平移$\frac{3}{2}$個單位后，N（0，$\frac{3}{2}$），
可設直線MN的解析式為y=x+b，
把N（0，$\frac{3}{2}$）代入，可得b=$\frac{3}{2}$，
∴直線MN的解析式為y=x+$\frac{3}{2}$；

（2）如圖所示，過A作AB⊥y軸于B，過M作MD⊥y軸于D，則∠MDN=∠ABO=90°，
由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，
∴△MDN∽△ABO，
∴$\frac{AB}{MD}$=$\frac{AO}{MN}$=2，
設A（a，a），則AB=a，
∴MD=$\frac{1}{2}$a=DN，
∴DO=$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），
∵雙曲線經(jīng)過點A，M，
∴k=a×a=$\frac{1}{2}$a×（$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$），
解得a=1，
∴k=1．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．