Question

15．已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)B，D，E同一在一條直線上．

（1）如圖1，當(dāng)AC⊥DE，且 AD=2時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，當(dāng)且CD⊥BE時(shí)，取線段BC的中點(diǎn)F，線段DC的中點(diǎn)G，連接DF，EG，求證：DF=EG．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，DE=AD=2，DF=$\frac{1}{2}$DE=1，AF=CF，由勾股定理求出AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，得出AC=2AF=2$\sqrt{3}$，即可得出BC的長(zhǎng)度；
（2）連接CE，由SAS證明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，求出∠DCE=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出DE=$\frac{1}{2}$CE，由三角形中位線定理得出FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，得出FG∥DE，F(xiàn)G=DE，證出四邊形DFGE是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：如圖1所示：
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，AC⊥DE，AD=2，
∴BC=AC，DE=AD=2，DF=$\frac{1}{2}$DE=1，AF=CF，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$；
（2）證明：連接CE，如圖2所示：
∵ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)B，D，E同一在一條直線上．
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，
∵CD⊥BE，
∴∠DCE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE，
∵線段BC的中點(diǎn)為F，線段DC的中點(diǎn)為G，
∴FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴FG∥DE，F(xiàn)G=DE，
∴四邊形DFGE是平行四邊形，
∴DF=EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明四邊形是平行四邊形是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．