Question

2．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是（　　）

• A． 4.75
• B． 4.8
• C． 5
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)QP中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，CF+FD＞CD；只有當點F在CD上時，F(xiàn)C+FD=PQ有最小值為CD的長，即當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時由直角三角形ABC的面積等于兩直角邊乘以的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD來求出，根據(jù)面積相等可得出CD的長，即為線段PQ長度的最小值．

解答 解：線段PQ長度的最小值時，PQ為圓的直徑，
如圖，設(shè)QP的中點為F，圓F與AB的切點為D，連接FD、CF、CD，

∵圓F與AB相切，
∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，F(xiàn)C+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ為圓F的直徑，
∵當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD有最小值，即CD為圓F的直徑，
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CA=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴CD=4.8．
故選B．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，垂線段最短，圓周角定理，以及直角三角形面積的求法，其中根據(jù)題意得：當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時，PQ=CD為最小值是解本題的關(guān)鍵．