Question

8．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．
（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．
（3）在（2）的條件下，△ABC滿足條件∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；
（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．
（3）添加∠BAC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊中線等于斜邊的一半可得AD=BD，進(jìn)而可得矩形AFBD是正方形．

解答 解：（1）BD=CD，
理由：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠AEF=∠DEC}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴DB=CD；

（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD（三線合一），
∴∠ADB=90°，
∴?AFBD是矩形．

（3）△ABC滿足∠BAC=90°，矩形AFBD是正方形；
∵BD=CD，∠BAC=90°，
∴AD=BD，
∴矩形AFBD是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．