Question

14．若點(diǎn)P為邊長(zhǎng)為5的等邊三角形的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，則PB+PE+PF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，若PD=6，PE=10，PF=8，則等邊△ABC的面積為60．

Answer 1

分析 （1）過A作AM垂直于BC，由三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)三線合一得到M為BC中點(diǎn)，在直角三角形ABM中，由AB及BM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AM的長(zhǎng)，利用底BC與高AM乘積的一半求出等邊三角形的面積，又三角形ABC的面積=三角形ABP的面積+三角形CBP的面積+三角形ACP的面積，利用三角形的面積公式分別表示出三個(gè)三角形的面積，相加等于求出的三角形ABC的面積，根據(jù)等邊三角形的三邊長(zhǎng)相等，等量代換后提取AB，可得出PD+PE+PF的值．
（2）由（1）得到三角形的面積和PD、PE、PF的關(guān)系，直接代入求值就行．

解答 解：（1）過A作AM⊥BC，連接PA，PB，PC，如圖所示：
∵△ABC為等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，AM⊥BC，
∴M為BC的中點(diǎn)，即BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
在直角三角形ABM中，AB=5，BM=$\frac{5}{2}$，
根據(jù)勾股定理得：AM=$\sqrt{{AB}^{2}{-BM}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
又∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
=$\frac{1}{2}$PE•AB+$\frac{1}{2}$PF•AC+$\frac{1}{2}$PD•BC
=$\frac{1}{2}$AB（PE+PF+PD），
∴$\frac{1}{2}$×5（PE+PF+PD）=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$
則PE+PD+PF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$；

（2）由（1）證得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB（PE+PF+PD），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×（10+8+6）=60．
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形的面積公式，其中連接P與三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，得出S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP是解本題的關(guān)鍵．