Question

19．已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是邊AB、BC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥DF，且DE=DF，M為EF的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上時(shí)，（如圖①）．
①求證：點(diǎn)E在直線BC上；
②若BF=2，則MC的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，（如圖②），求$\frac{BF}{CM}$的值．

Answer 1

分析 （1）①連接CE，證明△ADF≌△CDE，得到∠DCE=∠DAF=90°即可；
②作FK∥MC，證明CM=$\frac{1}{2}$FK，求出FK=$\sqrt{2}$BF即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線分別交AD、BC的延長(zhǎng)線于K、Q，EN∥MC，根據(jù)平行線等分線段定理即可解答．

解答 解：（1）①如圖①，連接CE，
∵∠ADC=90°，DE⊥DF，
∴∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠CDE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴∠DCE=∠DAF=90°，
∴點(diǎn)E在直線BC上；
②如圖①，作FK∥MC，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴CM=$\frac{1}{2}$FK，
∵∠DMB=∠DCB=90°，
∴D、M、C、B四點(diǎn)共圓，
∴∠MCD=∠MBD=45°，
∴∠BKF=45°，
∵BF=2，∴FK=2$\sqrt{2}$，
∴CM=$\frac{1}{2}$FK=$\sqrt{2}$；
（2）過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線分別交AD、BC的延長(zhǎng)線于K、G，EN∥MC，
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴CM=$\frac{1}{2}$NE，F(xiàn)C=CN，
∴NG=EG=BF，
$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BF}{\frac{1}{2}NE}$=$\frac{BF}{\frac{1}{2}\sqrt{2}NG}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法．