Question

7．如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形ABCD使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后，折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E、G，連接GF，有下列結(jié)論：①∠AGD=122.5°；②$\frac{AD}{AE}=2$；③BE=2OG；④DG=2EG；⑤AC-AD=EF，其中正確的序號(hào)是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ③⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)折疊的性質(zhì)我們能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度數(shù)，那么在三角形AGD中用三角形的內(nèi)角和即可求出∠AGD的度數(shù)；
②由tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，AE=EF＜BE，即可求得tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，即可得②錯(cuò)誤；
③我們可通過相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例關(guān)系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的關(guān)系，進(jìn)而求出BE和OG的關(guān)系；
④通過△DOG∽△DFE，得到$\frac{DG}{DE}=\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出DG=（$\sqrt{2}$-1）EG，
⑤根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，
∴①錯(cuò)誤．
∵tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，AE=EF＜BE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，
∴AD＞2AE，
∴②錯(cuò)誤．
∵在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．
∴③正確．
根據(jù)題意可得：AE=EF，AG=FG，
又∵EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
又∵∠AEG=∠FEG，
∴∠AEG=∠AGE
∴AE=AG=EF=FG，
∴EF=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OG，
∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DG=（$\sqrt{2}$-1）EG，
∴④錯(cuò)誤．
∵AC-AD=$\sqrt{2}$AD-AD=（$\sqrt{2}$-1）AD，
∵EF=AB-BE=AD-BE=AD-$\sqrt{2}$EF，
∴EF=（$\sqrt{2}$-1）AD，
∴AC-AD=EF，
∴⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)的角和邊相等是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．