Question

6．已知：直線y=2x與x=2相交于點(diǎn)A，直線x=2與x軸相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線AQ上的一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線OP上的一點(diǎn)，設(shè)AP=t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b）．
（1）求直線OP的解析式；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)三點(diǎn)A，O，B構(gòu)成以O(shè)B為斜邊的直角三角形時(shí)，求a與t之間的關(guān)系式；
（3）將△PAB沿直線PB折疊后，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在坐標(biāo)軸上，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值，并寫出以A，A′，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)的點(diǎn)B坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)A、點(diǎn)P的坐標(biāo)各是多少；然后根據(jù)待定系數(shù)法，求出直線OP的解析式即可．
（2）首先根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△BDA∽△ACO，即可判斷出DA=2BD；然后根據(jù)a-2=2×[4-$\frac{（4-t）a}{2}$]，求出a與t之間的關(guān)系式即可．
（3）根據(jù)題意，分3種情況：①若點(diǎn)A′在x軸正半軸上時(shí)；②若點(diǎn)A′在x軸負(fù)半軸上時(shí)；③若點(diǎn)A′在y軸負(fù)半軸上時(shí)；分類討論，求出當(dāng)所有滿足條件的t的值，并寫出以A，A′，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)的點(diǎn)B坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=2x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．
∵AP=t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4-t）
設(shè)直線OP的解析式為y=kx，
把x=2，y=4-t代入上式，
可得4-t=2k，
解得k=$\frac{4-t}{2}$，
∴y=$\frac{4-t}{2}$x．

（2）如圖1，過A作CD⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，

∵直線OP的解析式是y=$\frac{4-t}{2}$x，
∴點(diǎn)B（a，$\frac{（4-t）a}{2}$），點(diǎn)D（a，4），
∴DA=a-2，BD=4-$\frac{（4-t）a}{2}$，
當(dāng)∠BAO=90°時(shí)，
∵∠DAB+∠CAO=90°，∠COA+∠CAO=90°，
∴∠DAB=∠COA，
∴△BDA∽△ACO，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{DA}{CO}$，
∴$\frac{BD}{DA}=\frac{AC}{CO}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴DA=2BD，
∴a-2=2×[4-$\frac{（4-t）a}{2}$]，
解得a=$\frac{10}{5-t}$（0＜t＜5）．

（3）①如圖2，若點(diǎn)A′在x軸正半軸上，

∵四邊形AA′PB為菱形，
∴BA′∥AQ，AQ⊥x軸，
∴BA′⊥x軸，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線PB對(duì)稱，
∴OA′=OA=$\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴A′Q=2$\sqrt{5}$-2，
∵四邊形AA′PB為菱形，
∴PA′=AP=t，
在Rt△PQA′中，
PQ²+A′Q²=PA′²，
∴（4-t）²+（2$\sqrt{5}$-2）²=t²，
解得t=5-$\sqrt{5}$，
此時(shí)直線OP的解析式是：
y=$\frac{4-t}{2}$x=$\frac{4-（5-\sqrt{5}）}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
當(dāng)x=2$\sqrt{5}$時(shí)，
y=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2\sqrt{5}=5-\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$）；

②如圖3，若點(diǎn)A′在y軸負(fù)半軸上，連結(jié)AA′交OB于E，
，
∵四邊形AA′PB為菱形，
∴BA′∥AQ，AQ⊥x軸，
∴BA′⊥x軸，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線PB對(duì)稱，
∴OA′=OA=$\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴A′Q=2$\sqrt{5}$+2，
∵四邊形AA′PB為菱形，
∴PA′=AP=t，
在Rt△PQA′中，
PQ²+A′Q²=PA′²，
∴（t-4）²+（2$\sqrt{5}$+2）²=t²，
解得t=5+$\sqrt{5}$，
此時(shí)直線OP的解析式是：
y=$\frac{4-t}{2}$x=$\frac{4-（5+\sqrt{5}）}{2}$x=$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}x$，
當(dāng)x=-2$\sqrt{5}$時(shí)，
y=-$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$×$（-2\sqrt{5}）$=5$+\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2$\sqrt{5}$，5+$\sqrt{5}$）．

③如圖4，若點(diǎn)A′在x軸負(fù)半軸上，

∵四邊形AA′PB為菱形，
∴BA′∥AQ，AQ⊥x軸，
∴BA′⊥x軸，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線PB對(duì)稱，
∴OA′=OA=$\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴t=2$\sqrt{5}$時(shí)，
OA=OA′=A′P=AP=2$\sqrt{5}$，
此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，0）．
綜上，可得
當(dāng)t=5-$\sqrt{5}$時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$）；
當(dāng)t=5+$\sqrt{5}$時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2$\sqrt{5}$，5+$\sqrt{5}$）；
當(dāng)t=2$\sqrt{5}$時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了待定系數(shù)法求出直線的解析式問題，要熟練掌握．