Question

20．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB的中點為D（3，2）．將△AOB沿直線CD折疊，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C．
（1）求此一次函數(shù)的解析式；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點P（除點C外），使得以A、D、P為頂點的三角形與△ACD全等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得B點，A點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）OC=x，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出BC的長，再根據(jù)勾股定理求解即可；
（3）當(dāng)△ACD≌△AP₁D時，根據(jù)C、P點關(guān)于D點對稱，可得P點坐標(biāo)，當(dāng)△ACD≌△DP₂A時，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；當(dāng)△ACD≌△DP₃A時，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)A點坐標(biāo)為（a，0），B點坐標(biāo)為（0，b），
由線段AB的中點為D（3，2），得
$\frac{0+a}{2}$=3，$\frac{0+b}{2}$=2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
（2）如圖1：連接BC，設(shè)OC=x，則AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
4²+x²=（6-x）²，
解得x=$\frac{5}{3}$，
即C（$\frac{5}{3}$，0）；
（3）①當(dāng)△ACD≌△APD時，設(shè)P₁（c，d），
由D是PC的中點，得
$\frac{c+\frac{5}{3}}{2}$=3，$\frac{d+0}{2}$=2，
解得c=$\frac{13}{3}$，d=4，
即P₁（$\frac{13}{3}$，4）；
如圖2：，
②當(dāng)△ACD≌△DP₂A時，
做DE⊥AC與E，P₂F⊥AC與F點，DE=2，CE=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
由△CDE≌△AP₂F，
AF=CE=$\frac{4}{3}$，P₂F=DE=2，
OF=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴P₂（$\frac{14}{3}$，-2）；
③當(dāng)△ACD≌△DP₃A時，設(shè)P₃（e，f）
A是線段P₂P₃的中點，得
$\frac{e+\frac{14}{3}}{2}$=6，$\frac{f+（-2）}{2}$=0，
解得e=$\frac{22}{3}$，f=2，
即P₃（$\frac{22}{3}$，2），
綜上所述：P₁（$\frac{13}{3}$，4）；P₂（$\frac{14}{3}$，-2）；P₃（$\frac{22}{3}$，2）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)等知識，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．