Question

13．如圖，⊙O的直徑AB=2，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN 于C．設(shè)AD=x，BC=y． 
（1）求證：AM∥BN；
（2）求y關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）求四邊形ABCD的面積S．

Answer 1

分析 （1）由AB是直徑，AM、BN是切線，得到AM⊥AB，BN⊥AB，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即可得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)D作 DF⊥BC于F，則AB∥DF，由（1）AM∥BN，得到四邊形ABFD為矩形，于是得到DF=AB=2，BF=AD=x，根據(jù)切線長定理得DE=DA=x，CE=CB=y．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，AM、BN是切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；

（2）解：過點(diǎn)D作 DF⊥BC于F，則AB∥DF，
由（1）AM∥BN，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DF=AB=2，BF=AD=x，
∵DE、DA，CE、CB都是切線，
∴根據(jù)切線長定理，得DE=DA=x，CE=CB=y．
在Rt△DFC中，DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=2²+（y-x）²，
化簡(jiǎn)，得$y=\frac{1}{x}（x＞0）$．

（3）解：由（1）、（2）得，四邊形的面積$S=\frac{1}{2}AB（AD+BC）=\frac{1}{2}×2×（{x+\frac{1}{x}}）$，
即$S=x+\frac{1}{x}（x＞0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，求梯形的面積，正確的周長輔助線是解題的關(guān)鍵．