Question

10．如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O為原點，點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的關(guān)系式；
（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位的速度運動，當(dāng)其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)運動時間為$\frac{4}{3}$秒時，在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使△PEF的周長最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形面積求出正方形邊長，進而得出B點坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）①作F點關(guān)于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），經(jīng)過點E、F₁作直線求出圖象與x軸交點坐標(biāo)即可；
②作E點關(guān)于y軸的對稱點E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），經(jīng)過點E₁、F作直線求出圖象與y軸交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵四邊形AOCB為正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
設(shè)點B坐標(biāo)為（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴$\frac{1}{2}$a²=8，
∴a=±4
又∵點B在第一象限
點B坐標(biāo)為（4，4），
將點B（4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得，
k=16，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{16}{x}$；

（2）∵運動時間為t，
∴AE=t，BF=2t，
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$（4-t）•2t
=-t²+4t；

（3）存在．                              
當(dāng)t=$\frac{4}{3}$時，點E的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，4），點F的坐標(biāo)為（4，$\frac{4}{3}$），
①作F點關(guān)于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），經(jīng)過點E、F₁作直線，
由E（$\frac{4}{3}$，4），F(xiàn)₁（4，-$\frac{4}{3}$）代入y=ax+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}a+b=4}\\{4a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
可得直線EF₁的解析式是y=-2x+$\frac{20}{3}$；
當(dāng)y=0時，x=$\frac{10}{3}$，
∴P點的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，0）
②作E點關(guān)于y軸的對稱點E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），經(jīng)過點E₁、F作直線，
由E₁（-$\frac{4}{3}$，4），F(xiàn)（4，$\frac{4}{3}$）設(shè)解析式為：y=kx+c，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}k+c=4}\\{4k+c=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
可得直線E₁F的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$，
當(dāng)x=0時，y=$\frac{10}{3}$，
∴P點的坐標(biāo)為（0，$\frac{10}{3}$），
∴P點的坐標(biāo)分別為（$\frac{10}{3}$，0）或（0，$\frac{10}{3}$）．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值問題等知識，利用軸對稱得出對應(yīng)點是解題關(guān)鍵．