Question

1．如圖，直線l₁：y=-x+6與x軸交于點(diǎn)B，與直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x交與點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)，長為2的動線段CD（端點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始）在線段OB上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)端點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，那么當(dāng)t=$\frac{7}{3}$秒時(shí)，四邊形AECF的周長最�。�

Answer 1

分析 y=-x+6與y=$\frac{1}{2}$x聯(lián)立，從而可解得A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，作CE關(guān)于x軸的對稱線段，CE′，將CE′向右平移至FE″，當(dāng)FE″與AF共線時(shí)四邊形AECF的周長最小，然后求得AE″的直線解析式，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入可求出t的值．

解答 解：如圖，作CE關(guān)于x軸的對稱線段CE′，將CE′向右平移至FE″．

將y=-x+6與y=$\frac{1}{2}$x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．
∵C（t，0），CD=2，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴CF=1，點(diǎn)F（t+1，0）．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（2，-1），CE=CE′．
由平行的性質(zhì)可知：點(diǎn)E″的坐標(biāo)為（3，-1），E″F=CE′=CE．
設(shè)過A（4，2），E″（3，-1）兩點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直線AE″的表達(dá)式為：y=3x-10．
∵AE和CF的長度固定不變，
∴當(dāng)EC+AF最短時(shí)，四邊形AECF的周長最�。�
∵EC+AF=FE″+AF，
∴當(dāng)點(diǎn)A、E″F在一條直線上時(shí)，EC+AF有最小值．
將點(diǎn)F（t+1，0）代入y=3x-10得；3（t+1）-10=0．
解得：t=$\frac{7}{3}$．
∴當(dāng)t=$\frac{7}{3}$時(shí)，四邊形AECF的周長最�。�
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及了動點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱的性質(zhì)、平行的性質(zhì)，明確當(dāng)點(diǎn)A、E″F在一條直線上時(shí)，四邊形的周長最小是解題的關(guān)鍵．