Question

18．已知，如圖，AB=AC，AD=AE，BE與CD相交于點P．
（1）求證：PC=PB；
（2）求證：∠CAP=∠BAP；
（3）由（2）的結(jié)論，你能設(shè)計一種畫角的平分線的方法嗎？

Answer 1

分析 （1）首先證明△AEB≌△ADC可得∠C=∠B，再證明△CEP≌△BDP可得PC=PB；
（2）直接證明△CAP≌△BAP可得∠CAP=∠BAP；
（3）根據(jù)此題的條件可得畫法．

解答 （1）證明：在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠C=∠B，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AC-AE=AB-AD，
∴EC=DB，
在△EPC和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠EPC=∠DPB}\\{DB=EC}\end{array}\right.$，
∴△CEP≌△BDP（AAS），
∴PC=PB；

（2）證明：在△ACP和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠B}\\{CP=BP}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△BAP（SAS），
∴∠CAP=∠BAP；

（3）解：在∠A的兩邊上分別截取AC=AB，AE=AD，再連接CD，BE，兩線交于點P，再畫射線AP即可．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理：SAS、SSS、ASA、AAS、HL．