Question

9．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，且AB=4，
（1）證明：?ABCD是矩形；
（2）求：?ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出OA=OB=AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA=OC，OB=OD，求出AC=BD，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）求出AC、根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)面積公式求出即可．

解答 （1）證明：∵△ABO是等邊三角形，
∴OA=OB=AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵OA=AB=4，AC=2OA=8，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面積是BC×AB=4$\sqrt{3}$×4=16$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出四邊形ABCD是矩形是解此題的關(guān)鍵，注意：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．