Question

13．在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于E，交直線DC于F．
（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），討論線段DG與BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可；
（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可得△BEG≌△DCG，進而求出△DGB為等腰直角三角形，即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．

（2）解：如圖2，
連接GC、BG，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF為等腰直角三角形，
∵G為EF中點，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，
∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG與△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=CG}\\{∠BEG=∠DCG}\\{BE=DC}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB為等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DG．

點評 此題考查平行四邊形的性質(zhì)預(yù)判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點．