Question

16．△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．
（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．
（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)S_△DEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC時，求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出BD：DF=EC：DE，進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的$\frac{1}{4}$，求出DH的長，進(jìn)而利用S_△DEF的值求出EF即可．

解答 解：（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
理由如下：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$
∵BD=CD，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，
∴AD=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48．
S_△DEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×48=12．
又∵$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$AB•DH，
∴DH=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{8×6}{10}$=4.8，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=4.8．
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DG=12，
∴EF=$\frac{12}{\frac{1}{2}DG}$=5．

點(diǎn)評 本題考查了和相似有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點(diǎn)有三角形相似的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時，要仔細(xì)觀察圖形、選擇合適的判定方法，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．