Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，對(duì)稱軸是x=3，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸得出方程組，解方程組求出a和b即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出BC∥MN，BC=MN．分兩種情況：
①N點(diǎn)在M點(diǎn)下方，設(shè)M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），則N（x+3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x），由N在x軸上得出-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x=0，解方程即可；
②M點(diǎn)在N點(diǎn)右下方，設(shè)M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），則N（x-3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8），由N在x軸上得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵對(duì)稱軸是直線x=3，
∴-$\frac{2a}$=3，即6a+b=0，
關(guān)于a，b的方程聯(lián)立為$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{6a+b=0}\end{array}\right.$，
解得 a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
分兩種情況：
①N點(diǎn)在M點(diǎn)下方，如圖所示：
即M點(diǎn)向下平移4個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位與N重合．
設(shè)M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），則N（x+3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x），
∵N在x軸上，
∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x=0，
解得 x=0（舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）；
②M點(diǎn)在N點(diǎn)右下方，即N向下平移4個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位與M重合．
設(shè)M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），則N（x-3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8），
∵N在x軸上，∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8=0，
解得 x=3-$\sqrt{41}$，或x=3+$\sqrt{41}$，
∴x_M=3-$\sqrt{41}$或3+$\sqrt{41}$．
∴M₂（3-$\sqrt{41}$，-4）或M₃（3+$\sqrt{41}$，-4）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（6，4）或（3-$\sqrt{41}$，-4）或（3+$\sqrt{41}$，-4）

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)解析式的求法、平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．