Question

20．我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．
如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案？
問題解決：
猜想1：是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？
驗(yàn)證1：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+$\frac{（8-2）180}{8}$y=360，整理得：2x+3y=8，
我們可以找到方程的正整數(shù)解為$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
結(jié)論1：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌．
猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，根據(jù)平面鑲嵌的體積可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整數(shù)解即可．

解答 解：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有a個(gè)正三角形和b個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，
根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
方程的正整數(shù)解為$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或者圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形．

點(diǎn)評 本題考查了平面鑲嵌，正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．解決此類題，可以記住幾個(gè)常用正多邊形的內(nèi)角，及能夠用兩種正多邊形鑲嵌的幾個(gè)組合．也考查了二元一次方程的應(yīng)用．