Question

2．如圖1，含30°角的直角三角板DEF（∠EDF=30°）與含45°角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為BC的中點(diǎn)，將直角三角板DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）如圖2，當(dāng)∠α=15°時(shí)，DE∥AB；當(dāng)∠α=105°時(shí)，DE⊥AB；
（2）如圖3，當(dāng)直角三角板DEF的邊DF、DE分別交BA、CA的延長線于點(diǎn)M、N時(shí)：
①∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，求出∠1與∠2度數(shù)的和；若變化，請說明理由；
②若使得∠1=2∠2，求出∠1、∠2的度數(shù)，并直接寫出此時(shí)∠α的度數(shù)；
③若使得∠1≥$\frac{2}{3}$∠2，求∠α的度數(shù)范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠EDC=∠B=45°時(shí)，DE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得30°+α=45°，解得α=15°；當(dāng)DE∥AC時(shí)，DE⊥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得30°+α+45°=180°，解得α=105°；
（2）①連結(jié)MN，如圖3，在△AMN中，由三角形內(nèi)角和定理得∠ANM+∠AMN+∠MAN=180°，則∠ANM+∠AMN=90°，再在△MND中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠2+∠ANM+∠AMN+∠1+∠MDN=180°，所以∠1+∠2=60°；
②根據(jù)∠1與∠2的關(guān)系列方程組$\left\{\begin{array}{l}{∠1+∠2=60°}\\{∠1=2∠2}\end{array}\right.$，然后解方程組即可；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，即45°+α=40°+90°，解得α=85°；
③由∠1≥$\frac{2}{3}$∠2，∠1+∠2=60°可解得∠1≥24°，由于∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，即45°+α=∠1+90°，則∠1=α-45°，所以α-45°≥24°，解得α≥69°，利用直角三角板DEF的邊DF、DE分別交BA、CA的延長線于點(diǎn)M、N得到α＜90°，于是得到69°≤α＜90°．

解答 解：（1）∵∠B=45°，
∴當(dāng)∠EDC=∠B=45°時(shí)，DE∥AB，
而∠EDF=30°，
∴30°+α=45°，解得α=15°；
當(dāng)DE∥AC時(shí)，DE⊥AB，
此時(shí)∠C+∠EDC=180°，
∴30°+α+45°=180°，解得α=105°；
故答案為15°，105°；
（2）①∠1與∠2度數(shù)的和不變．
連結(jié)MN，如圖3，
在△AMN中，∵∠ANM+∠AMN+∠MAN=180°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，
即∠2+∠ANM+∠AMN+∠1+∠MDN=180°，
∴∠1+∠2=180°-90°-30°=60°；
②根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{∠1+∠2=60°}\\{∠1=2∠2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{∠1=40°}\\{∠2=20°}\end{array}\right.$；
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=40°+90°，
∴α=85°；
③∵∠1≥$\frac{2}{3}$∠2，∠1+∠2=60°，
∴∠1≥$\frac{2}{3}$（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度數(shù)范圍為69°≤α＜90°．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了解二元一次方程組．合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，同時(shí)運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決∠α的度數(shù)范圍．