Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，AD=2，BC=4，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：AB=CD；
（2）動點P，Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變，設PC=x，MQ=y，求y與x之間的函數(shù)關系；
（3）在（2）中當動點P、Q運動到何處時，以點P、M和點A、B、C、D中的兩點為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)SAS得出△AMB與△DMC全等，再利用全等三角形的性質求出AB=DC；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定得出△BMP與△CPQ相似，再利用相似三角形的性質列出方程求出關系式．
（3）根據(jù)平行四邊形分情況討論即可．

解答 （1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中點，
∴AM=MD，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC；

（2）在等邊三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴$\frac{PC}{BM}=\frac{CQ}{BP}$，
令PC=x，MQ=y，則BP=4-x，QC=4-y，
∴$\frac{x}{4}=\frac{4-y}{4-x}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-x+4=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3；

（3）當BP=1時，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，則四邊形ABPM四邊形MBPD均為平行四邊形．
當BP=3時，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
則四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形．
∴當BP=1或BP=3時，以點P、M和A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 此題主要考查三角形的全等相似性質以及平行四邊形的判定，關鍵全等三角形的判定和根據(jù)相似三角形性質得出關系式．