Question

20．如圖，在Rt△ABC的內(nèi)部作一個矩形CEDF，其中CE、CF在三角形的邊AC、BC上，已知AC=6cm，BC=8cm．設(shè)長方形的面積為y m²，邊長DE=x m．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；
（2）畫出函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)圖象，判斷當x為何值時，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）先證明△AED∽△ACB，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{CB}$，可求得AE=$\frac{3}{4}x$，所以EC=6-$\frac{3}{4}x$，然后根據(jù)矩形的面積公式求得y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求得拋物線與x軸兩交點的坐標，然后再求得拋物線的頂點坐標，即可畫出函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)頂點坐標為（4，9）可求得當x=4時，最大值為y=9．

解答 解：（1）∵四邊形ECFD是矩形，
∴ED∥BC．
∴△AED∽△ACB．
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{CB}$，即$\frac{AE}{6}=\frac{x}{8}$．
∴AE=$\frac{3}{4}x$．
∴EC=6-$\frac{3}{4}x$．
∴y=（6-$\frac{3}{4}x$）x=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$．
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$（0＜x＜8）．
（2）令y=0得；y=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$=0，
解得：x₁=0，x₂=8．
∴頂點的橫坐標為4，將x=4代入得y=12．
∴拋物線的頂點坐標為（4，12）
過點（0，0）、（8，0）、（4，12）畫出函數(shù)圖形如圖所示：

（3）∵a＜0，
∴拋物線有最大值．
由（2）可知：拋物線的頂點坐標為（4，12），
∴當x=4時，有最大值，最大值為12．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，確定出函數(shù)的點坐標以及與x的交點坐標是解題的關(guān)鍵．