Question

直線l垂直x軸于點A（4，0），點P是l上的一個動點，經(jīng)過點P的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于原點O和點B，拋物線的對稱軸交OP于點C，交x軸于點D，連接PD、PB、BC，設點P的縱坐標為m．
（1）求當點P與點A重合時拋物線的解析式；
（2）若△PAD的面積是△PAB的2倍，求點B的坐標；
（3）是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點A和原點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2））根據(jù)△PAD的積是△PAB的2倍，根據(jù)當點P在x軸的上方時和當點P在x軸的下方時兩種情況分類討論即可確定點B的坐標；
（3）分當點P在x軸的上方時和當點P在x軸的下方時兩種情況利用△PAB∽△PAP得到比例式，從而求得點P的坐標．

解答：解：（1）由已知P（4，0），O（0，0），
∴

16+4b+c=0 c=0

，
∴

b=4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）∵△PAD的積是△PAB的2倍，
∴AD=2AB，
當點P在x軸的上方時，如圖1，
∵AD=2AB，
∴AB=DB，
∵DB=DO，
∴OD=OB=AB=

4

3

，
∴B（

8

3

，0）；
當點P在x軸的下方時，如圖2，
設AB=k，則AD=2k，
∴OD=DB=3k，由OA=4得3k+2k=4，
∴k=

4

5

，
∴B（

24

5

，0），
∴所求點B的坐標為（

24

5

，0）或（

8

3

，0）；

（3）存在點P，使得△PBC為直角三角形，
當點P在x軸的上方時，如圖1，
若∠PCA=90°，
∵CO=CB，
∴∠POA=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
若∠PCA=90°，則有∠APB=∠CBD=∠COD，
又∵∠PAB=∠OAP，
∴△PAB∽△OAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
∵y=x²+bx+c過（0，0）和（4，m），
∴拋物線的解析式為y=x²+（

m

4

-4）x，
∴B（4-

m

4

，0），
∴AB=

m

4

，
∴

m 4

m

=

m

4

，
解得：m=1，
∴P（4，1），
當點P在x軸的下方時，如圖2，
若∠PCB=90°，
∵CO=CB，
∴∠POB=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，-4），
若∠CPB=90°，則可證△PAB∽△PAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
由上題得B（4-

m

4

，0），
∴AB=-

m

4

，
∴

- m 4

-m

=

-m

4

，
解得：m=-1，
綜上，所求點P的坐標為（4，4）、（4，1）、（4，-4）、（4，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是題目中用到的分類討論數(shù)學思想更是中考的熱點考題之一，另外存在性問題也是中考的另一個重要考點，有一定的難度．